梯度下降推导

以感知器为例，可以梯度下降来学习合适的权重和偏置：

假设有n个样本，第i次的实际输出为y，对于样本的预测输出可以表示为：

$$ \bar{y}^i = w_1x_1^i+w_2x_2^i+…+w_nx_n^i+b $$

任意一个样本的实际输出和预测输出单个样本的误差，可以使用MES表示：

$$ e^i=\frac{1}{2}(y^i-\bar{y}^i)^{2} $$

那么所有误差的和可以表示为：

$$ \begin{aligned} E &= e^1+e^2+…+e^n \ &= \sum_{i=1}^ne^i \ &= \frac{1}{2}\sum_{i=1}^n(y^i-w^Tx^i)^2 \end{aligned} $$

想象一下，当你从山顶往下走，只要你沿着最陡峭的位置往下走，那么终将走到最底部（也可能是局部最低）：

我们学习的目的就是在$E$尽量最小，然后得到此时的$w$和$b$，前面说的最陡峭的位置该怎么定义呢？我们可以引入梯度，这是一个向量，指的是函数值上升最快的方向，那么最陡峭的位置就可以用在最陡峭的方向迈出一步（步长，学习速率），用数学公式表示为：

$$ \mathbf{x}{n e w}=\mathbf{x}{\text {old }}-\eta \nabla f(x) $$

其中：

• $\nabla$表示梯度算子
• $\nabla f(x)$表示函数的梯度
• $\eta$表示梯度、学习速率，可以理解为找准下山的方向后要迈多大步子

现在有了目标函数，也知道怎么找到让目标函数值最小的办法，对于参数$w$：

$$ E_{(w)} = \frac{1}{2}\sum_{i=1}^n(y^i-w^Tx^i)^2 $$

那么$W$值的更新公式为：

$$ w_{n e w}=w_{\text {old }}-\eta \nabla E_{(w)} $$

关键步骤来了，来看看$E_{(w)}$的推导吧：

$$ \begin{aligned} \nabla E(\mathrm{w}) &=\frac{\partial}{\partial \mathrm{w}} E(\mathrm{w}) \ &=\frac{\partial}{\partial \mathrm{w}} \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n}\left(y^{(i)}-\bar{y}^{(i)}\right)^{2} \&=\frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial \mathrm{w}} \sum_{i=1}^{n} \left(y^{(i)2}-2y^{(i)}\bar{y}^{(i)}+\bar{y}^{(i)2}\right) \end{aligned} $$

再引入链式求导法则：

$$ \begin{aligned} \nabla E(\mathrm{w}) &=\frac{\partial}{\partial \mathrm{w}} E(\mathrm{w}) \ &=\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial}{\partial \mathrm{w}}\left(y^{(i) 2}-2 y^{(i)} \bar{y}^{(i)}+\bar{y}^{(i) 2}\right) \ &=\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n}\left(\frac{\partial}{\partial \bar{y}^{(i)}}\left(y^{(i) 2}-2 y^{(i)} \bar{y}^{(i)}+\bar{y}^{(i) 2}\right) \frac{\partial y_{(i)}}{\partial \mathrm{w}}\right) \ &=\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n}\left(\left(-2 y^{(i)}+2 \bar{y}^{(i)}\right) \mathbf{x}^{(i)}\right) \ &=-\sum_{i=1}^{n}\left(y^{(i)}-\bar{y}^{(i)}\right) \mathrm{x}^{(i)} \end{aligned} $$

前面提到$W$值的更新公式为：

$$ w_{n e w}=w_{\text {old }}-\eta \nabla E_{(w)} $$

将上面计算结果带入：

$$ w_{n e w}=w_{\text {old }}+\eta \sum_{i=1}^{n}\left(y^{(i)}-\bar{y}^{(i)}\right) \mathrm{x}^{(i)} $$

参数的更新方式就这样计算出来了，其实所谓的学习，就是确定一个目标函数用一定的计算方法让其算出最优的参数。